5.6 频率响应与阶跃响应

频率响应描述放大电路对不同频率正弦信号放大的能力，即在输入信号幅值不变的情况下改变信号频率，这种方法称为频域法。实际上，还可以用阶跃函数作为放大电路的输入，考察输出信号前沿与顶部的变化，来研究电路的放大性能，这种方法称为时域法。所谓阶跃函数，就是在 $t<0$ 时 $u_I=0\text{V}$，$t\ge 0$ 时 $u_I=U_I$（$U_I$ 为常量）的信号，如图5.6.1所示。输出对于阶跃函数的响应，应采用过渡过程的分析方法。

一、阶跃响应的指标

阶跃函数是在 $t=0$ 时刻产生单位突变的信号，由于电路中电容（如耦合电容、极间电容等）上的电压不会跃变，造成输出信号跟不上输入信号的变化，因而产生失真，如图5.6.2所示。
为了描述输出电压的失真情况，引入以下三个指标：
（1）上升时间：指输出电压从终了值的 10% 上升到终了值的 90% 所需要的时间，见图5.6.2(a)中标注的 $t_r$。
（2）倾斜率：指在指定时间 $t_p$ 内，输出电压顶部的变化量与上升的终了值的百分比，即倾斜率$$\delta =\frac{U_{Om}-U_{Om}^{\prime }}{U_{Om}}\cdot 100\%(\mathrm{5.6.1})$$见图($c$)中所标注。
（3）超调量：指在输出电压上升的瞬态过程中，上升值超过终了值的部分，一般用超过终了值的百分比来表示。

二、频率响应与阶跃响应的关系

从频谱的概念去理解，一个阶跃函数的频谱应包含从 0 到无穷大无数个频率成分，因此只有放大电路的频带无限宽，才可能在阶跃函数作用时，在输出端得到与输入信号成比例的输出信号，即输出信号也为阶跃信号，或仅仅反相。以下图所示的单管共射放大电路为例来说明 $f_H$ 与 $t_r$，$f_L$ 与 $\delta$ 之间的关系，从中理解频率响应与阶跃响应的关系。从频率特性的分析中知 $C_{\pi }^{\prime }$ 所在回路是低通电路，如图5.6.3(a)所示。因此，在阶跃信号作用时，$C_{\pi }^{\prime }$ 上的电压 $u_{b^{\prime }e}$ 将按指数规律上升。$u_{b^{\prime }e}$ 的起始值为 $0\text{V}$，终了值为 $U_I$，回路时间常数为 $R{C}_{\pi }^{\prime }$，因而 $u_{b^{\prime }e}$ 的表达式为$$u_{b^{\prime }e}=U_I(1-e^{-\frac{t}{R{C}_{\pi }^{\prime }}})(\mathrm{5.6.2})$$$u_I$ 与 $u_{b^{\prime }e}$ 随时间的变化波形如图5.6.3(b)所示。根据式（5.6.2）可以计算出，$u_{b^{\prime }e}$ 上升到 $10\%U_I$ 所需的时间为 $0.1R{C}_{\pi }^{\prime }$，上升到 $90\%U_I$ 所需的时间为 $2.3R{C}_{\pi }^{\prime }$，因此 $u_{b^{\prime }e}$ 的上升时间$$t_r=2.2R{C}_{\pi }^{\prime }(\mathrm{5.6.3})$$因为上限频率 $f_H=\frac{1}{2\pi R{C}_{\pi }^{\prime }}$，所以与式（5.6.3）联立可得出 $t_r$ 与 $f_H$ 的关系式$$t_r\approx \frac{0.35}{f_H}(\mathrm{5.6.4})$$上述分析表明，与上限频率一样，上升时间也决定于 $C_{\pi }^{\prime }$ 所在回路的时间常数，$f_H$ 愈大，$t_r$ 愈小，放大电路的高频特性愈好。
根据定义，倾斜率是研究输入信号从突变到某一固定值时引起输出电压变化的过程，因此电路的低频参数将起主要作用。从放大电路低频特性的分析可知，耦合电容 $C$ 所在回路是高通电路，如图5.6.4(a)所示。
$u_O^{\prime }$ 为开路时的输出电压，$u_O^{\prime }=-g_m{u}_{b^{\prime }e}{R}_c$，它随 $u_{b^{\prime }e}$ 而产生线性变化，并与之反相。因为回路时间常数 $(R_c+R_L)C>>t_r$，所以可以认为在 $u_{b^{\prime }e}$ 从零到 $U_I$ 的变化阶段，$u_O$ 跟随 $u_O^{\prime }$ 按比例变化。即认为电容 $C$ 近似为短路，$u_O=\frac{R_L}{R_c+R_L}\cdot u_O^{\prime }$。当 $u_{b^{\prime }e}$ 达到稳态值 $U_I$ 时，$u_O$ 也达到最大值 $U_{Om}$。之后 $u_O$ 以 $U_{Om}$ 为起始值，以 $(R_c+R_L)C$ 为时间常数，以零为终了值，按指数规律变化，$u_O$ 的表达式为$$u_O=U_{Om}{e}^{-\frac{t}{RC}}(R=R_c+R_L)(\mathrm{5.6.5})$$当 $t<<RC$ 时$$u_O\approx U_{Om}(1-\frac{t}{RC})$$在图5.6.4中，$t_r<<t_p<<RC$，因此倾斜率 $\delta$ 为$$\delta =\frac{U_{Om}-U_{Om}^{\prime }}{U_{Om}}\cdot 100\%\approx \frac{U_{Om}-U_{Om}(1-\frac{t_p}{RC})}{U_{Om}}\cdot 100\%=\frac{t_p}{RC}\cdot 100\%(\mathrm{5.6.6})$$因为下限频率 $f_L=\frac{1}{2\pi RC}$，所以与式（5.6.6）联立后，可得到 $\delta$ 与 $f_L$ 的关系为$$\delta \approx 2\pi f_L{t}_p\times 100\%$$上述分析表明，与下限频率 $f_L$ 一样，倾斜率 $\delta$ 也决定于 $C$ 所在回路的时间常数，$f_L$ 愈低，$\delta$ 愈小，放大电路的低频特性愈好。
综上所述，频率响应与阶跃响应有着内在的联系，这是因为它们只是分别从频域和时域两个角度描述同一个电路模型的放大性能，从而得出不同的指标。这些指标的优劣都取决于电抗元件所在回路的时间常数。