1.简单理解 信息熵

机器学习中的决策树算法是对信息熵的一种典型的应用。
在信息论中，使用 熵 (Entropy)来描述随机变量分布的不确定性。
假设对随机变量X，其可能的取值有$x_1,x_2,...,x_n$。即有n种可能发生的结果。其对应发生的概率依次为$p_1,p_2,...,p_n$，则事件$p_i$对应的信息熵为:

    $H(X)=H(p)={\sum }_{i=1}^n{p}_i\log \frac{1}{p_i}=-{\sum }_{i=1}^n{p}_i\log p_i$

信息熵中log的底数通常为2，理论上可以使用不同的底数。

如何理解信息熵呢，假设已知今天是周日，则对于“明天是周几”这件事，只有一种可能的结果：是周一，且p=1。则“明天是周几”的信息熵$H(X)$为 $-1\times \log 1=0$，取信息熵的最小值0。表示“明天是周几”这个话题的不确定性很低，明天周几很确定。

再比如抛一枚硬币，则结果为正面和反面的概率都是0.5。则信息熵为$log2$，相比“明天周几”这件事的信息熵稍大些了。

假设某事情有100中可能的结果，每种结果发生的概率为0.01。则$H(X)=log100$，对于等概率均匀分布的事件，不确定的结果种类越多，则熵越大。

2.编制指标 （学术情景应用）

迁移到编制指标的情形，通过下边一个简单的示例理解熵权法在学术研究中的应用。
以陈浩，刘媛华的论文《数字经济促进制造业高质量发展了吗？——基于省级面板数据和机器学习模型的实证分析》
中部分内容展示为例：
 
对于离散型的随机变量，某指标在样本中出现的频率即可视为概率P，进而求出每个指标的熵值。
而对于上图中的连续型的随机变量，则在处理思想上与离散型随机变量有所不同。
通常可以先对数据做标准化处理，假设X指标中的第i个样本的标准化处理结果为$Z_i$：
（注意对正向指标和负）
 
则指标X中的第i个样本的权重为：
 
            $P_i=$$\frac{Z_i}{{\sum }_{i=1}^n{Z}_i}$

 
上边说到，指标的熵值计算公式为：
 
        $H(p)={\sum }_{i=1}^n{p}_i\log \frac{1}{p_i}=-{\sum }_{i=1}^n{p}_i\log p_i$
 
为了方便求变异系数，这里计算熵值的时候常常在该公式的基础上再乘以一个常数K，即
 
        $H(p)=-K{\sum }_{i=1}^n{p}_i\log p_i$
 

其中$K=$$\frac{1}{ln(n)}$，n是样本的个数。易知，乘以常数后计算出的熵值，通常范围都是在区间[0,1]内的。

举个例子，假设一共有十个样本，且十个样本的连续型X指标数值非常相近，甚至完全一致。
对数的底数取10，则每个样本的权重都有接近或等于1/10。
通过公式$H(p)=-K{\sum }_{i=1}^n{p}_i\log p_i$计算出的熵值则为1，
然后引入一个新的指标“差异系数”来刻画数据之间的差异性大小（即使用1减去熵值得到所谓“差异系数”，不要跟变异系数混淆），
 
第j个指标的差异系数$d_j=1-H_j$（H_j为第j个指标的熵值）
 
计算可知差异系数为0。则说明该指标在数值上不存在任何差异（雀食如此）。
随着数据本身数值上的差距的提升，指标的熵值会逐步减小，差异系数逐渐增大。这样说相信很容易理解了。
 
指标的熵值越小（差异系数越大），则该指标在最终要编制的指标中所占的权重则越大。

具体的权重计算公式为：
         ${\omega }_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^m}$

即某指标差异系数占所有指标差异系数和的比重。

上图的情景中，作者首先对二级指标进行衡量，然后使用熵权法，求出每个二级指标的熵值，进而求出权重，分别计算出四个一级指标；
然后再对四个一级指标再次使用熵权法计算权重，进而得到最终指标：制造业高质量发展水平。

3.python实现

3.1 数据准备

为方便读者测试，这边手动生成一段数据作为示例。
将指标1，指标2，指标3，指标4，合并编制为一个“综合指标”。

import pandas as pd
import numpy as np

# 1. 初始数据 假设指标4是负向指标，其余三个为正向指标
df1 = pd.DataFrame({'指标1': [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],
                    '指标2': [2, 4, 6, 8, 10, 2, 4, 6, 8, 10],
                    '指标3': [1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3, 1],
                    '指标4': [3, 1, 2, 3, 5, 8, 7, 8, 8, 9]
                   })
print(df1)            

数据为DataFrame格式，效果展示如下：
           

3.2 数据预处理

然后是数据预处理部分，这里定义一个泛用性较强的标准化处理函数，
该函数对于正向指标和负向指标（越大越好的指标和越小越好的指标），可以分别进行不同的处理。
（处理逻辑通过代码可以很容易看出）
同时该函数也可以兼容只进行其中一种处理的情景。

# 2.数据预处理 定义标准化处理函数
def Standardization(data,cols1=None, cols2=None):
    """
    :param data:目标数据
    :param cols1: 需要处理的正向指标列名列表，类型为列表或None [col1, col2, col3]
    :param cols2: 需要处理的负向指标列名列表，类型为列表或None [col1, col2, col3]
    :return: 输出处理结果
    """
    if cols1 == None and cols2 == None:
        return data
    elif cols1 != None and cols2 == None:
        return (data[cols1] - data[cols1].min())/(data[cols1].max()-data[cols1].min())
    elif cols1 == None and cols2 != None:
        return (data[cols2].max - data[cols2])/(data[cols2].max()-data[cols2].min())
    else:
        a = (data[cols1] - data[cols1].min())/(data[cols1].max()-data[cols1].min())
        b = (data[cols2].max() - data[cols2])/(data[cols2].max()-data[cols2].min())
        return pd.concat([a, b], axis=1)

调用函数，进行标准化处理：

df2 = Standardization(df1, cols1=['指标1', "指标2", "指标3"], cols2=['指标4'])
print(df2)

处理结果如下：
   

3.3 熵值、权重计算

然后定义一个通过熵值计算权重，及样本评分的函数。

def Weightfun(data):
    """
    :param data: 预处理好的数据
    :return: 输出权重。
    """
    K = 1/np.log(len(data))
    e = -K*np.sum(data*np.log(data))
    d = 1-e
    w = d/d.sum()
    return w

该函数的返回值有两个，w是权重，score是评分

调用函数，计算出各个指标的权重：

w = Weightfun(df2)
print(w)

各个指标权重如下图所示：
      

3.4 编制综合评价指标

直接将DataFrame格式的数据与求出的权重相乘，并求和，即得到通过熵值法编制出的综合指标，代码及结果如下图所示：

df3= df2 * w
df3['综合指标'] = df3.sum(axis=1)

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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P2部分示例文献截图，参考：
陈浩，刘媛华的论文《数字经济促进制造业高质量发展了吗？——基于省级面板数据和机器学习模型的实证分析》