Python均匀分布和三角形分布
文章目录
- 均匀分布
- 三角形分布
- 均匀分布和三角形分布之间的关系
| 函数 | 备注 |
|---|---|
| triangular(left, mode, right) | 三角形分布 |
| uniform([low, high]) | 均匀分布 |
均匀分布
所谓均匀分布，就是在事件空间中，所有事件的概率都是相等的连续分布，其概率密度为
f ( x ) = 1 b − a , x ∈ ( a , b ) f(x)=\frac{1}{b-a}, x\in (a,b) f(x)=b−a1,x∈(a,b)
易得其均值为 a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b，方差为 ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2。
在numpy.random中，uniform用于生成均匀分布的随机数，其输入参数分别为随机数下限和上限，示例如下面代码所示
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.random import uniform
xs = uniform(1, 5, size=20000)
plt.hist(xs, 100)
plt.show()
其分布为
毫无疑问，均匀分布是最简单的分布函数，在 ( a , b ) (a,b) (a,b)区间内，所有点差不多构成了一个矩形，所以均匀分布也叫矩形分布。
和矩形分布相似，概率密度函数为三角形的分布，就是三角形分布。
三角形分布
对于下限为 a a a，上限为 b b b，众数为 c c c的三角分布，其概率密度函数为
f ( x ) = { 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) a ⩽ x ⩽ c 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) c < x ⩽ b f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}\quad a\leqslant x\leqslant c\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}\quad c<x\leqslant b \end{aligned}\right. f(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(b−a)(c−a)2(x−a)a⩽x⩽c(b−a)(b−c)2(b−x)c<x⩽b
在numpy.random中，trangular用于生成三角形分布的随机数，其输入参数分别为随机数下限、众数和上限，示例如下面代码所示
from numpy.random import triangular
xs = triangular(1, 3, 5, size=20000)
plt.hist(xs, 100)
plt.show()
效果如图所示
均匀分布和三角形分布之间的关系
若两个随机变量 X 1 , X 2 X_1, X_2 X1,X2符合均匀分布，则 X 1 + X 2 X_1+X_2 X1+X2符合三角形分布。
x1 = uniform(1,5,size=20000)
x2 = uniform(3,6,size=20000)
plt.hist(x1+x2, bins=100)
plt.show()
其分布的形状果然变成了三角形。
记X1的下限与上限为 a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1，X2的下限与上限分别为 a 2 , b 2 a_2,b_2 a2,b2，从这个三角形分布的特点可以看出，三角形分布的下限和上限分别是 a 1 + a 2 , b 1 + b 2 a_1+a_2, b_1+b_2 a1+a2,b1+b2，其众数为 a 1 + b 1 + a 2 + b 2 2 \frac{a_1+b_1+a_2+b_2}{2} 2a1+b1+a2+b2。
而且两组均匀分布的随机变量相减，其结果也是三角形分布
x1 = uniform(1,5,size=20000)
x2 = uniform(3,6,size=20000)
plt.hist(x1-x2, bins=100)
plt.show()
二者的区别无非是差个正负号而已。