一、约数

• 约数，又称因数。整数 $a$ 除以整数 $b$（$b\ne 0$） 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 $a$ 能被 $b$ 整除，或 $b$ 能整除 $a$。$a$ 称为 $b$ 的倍数，$b$ 称为 $a$ 的约数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。
• 如果一个数 $c$ 既是数 $a$ 的因数，又是数 $b$ 的因数，那么 $c$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的公因数。
• 两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。
• 对于约数的求解，通常有以下几种方法：
• （1） 枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。
• （2） 短除法：大家都十分熟练的一种求解最大公因数的方法。
• （3） 分解质因数：将需要求最大公因数的两个数 $A，B$ 分别分解质因数，再从中找出 $A、B$ 公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得 $A、B$ 的最大公约数。
• （4） 辗转相除法（欧几里得算法）：对要求最大公因数的两个数 $a、b$，设 $b<a$，先用 $b$ 除 $a$，得 $a=bq+r1（0\le r1<b）$。若 $r1=0$，则$（a，b)=b$；若 $r1\ne 0$，则再用 $r1$ 除 $b$，得 $b=r1q+r2(0\le r2<r1）$，若 $r2=0$，则$（a，b)=r1$，若 $r2\ne 0$，则继续用 $r2$ 除 $r1$……如此循环，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为$（a，b）$。

二、试除法求约数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，对于每个整数 $a_i$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个整数 $a_i$ 的所有约数。

数据范围

$1\le n\le 100$
$2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例

2
2
6

输出样例

1 2 3 6
1 2 4 8

具体实现

1. 实现思路

• 与试除法判断质数是相同的道理。
• 当 $d$ 可以整除 $n$ 时，显然，$n/d$ 也可以整除 $n$。例如，当 $n=12$ 时，$3$ 是 $12$ 的约数，$4$ 也是 $12$ 的约数，他们是成对存在的。
• 因此，在我们枚举的过程中，只需要枚举其中较小的一个即可，时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$。
• 用 vector 存储一个数的所有约数。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> get_divisors(int x)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
    {
        if (x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            //判断边界情况
            if (i != x / i)
            {
                res.push_back(x / i);
            }
        }
    }
    //对约数排序
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        //自动对应数据类型
        auto res = get_divisors(x);

        for (auto x : res)
        {
            cout << x << ' ';
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

三、约数个数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$1\le n\le 100$
$2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例

3
2
6
8

输出样例

12

具体实现

1. 实现思路

• 一个数的约数是由这个数的几个质因子相乘得到的。
• 例如：12 的质因子有 2，3。12 的约数有：1，2，3，4，6，12。
• 约数 1 是由 0 个 2， 0 个 3 相乘得到的。
• 约数 2 是由 1 个 2， 0 个 3 相乘得到的。
• 约数 3 是由 0 个 2， 1 个3 相乘得到的。
• 约数 4 是由 2 个 2， 0 个3 相乘得到的。
• 约数 6 是由 1 个 2， 1 个3 相乘得到的。
• 约数 12 是由 2 个 2， 1 个 3相乘得到的。
• 12 可以分解为：2² × 3¹。所以 2 可以取 0 ~ 2个，3 种取法。3 可以取 0~1 个，2 种取法。12 的质因子一共：2 × 3 = 6 个，约数一共有：(2+1)×(1+1)=6 个。
• 关于约数个数和约数之和，有如下具体公式：

• 由上述公式，我们求解出每一个约数后，套用公式即可。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    //第一个存储质因子的底数
    //第二个存储质因子的指数
    unordered_map<int, int> primes;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        {
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }
        }

        if (x > 1)
        {
            primes[x] ++ ;
        }
    }

    LL res = 1;
    for (auto p : primes)
    {
        res = res * (p.second + 1) % mod;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

四、约数之和

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行，包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$1\le n\le 100$
$2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例

3
2
6
8

输出样例

252

具体实现

1. 实现思路

• 关于约数之和，有如下计算公式：

• 与上一道题整体是差不多的，只是计算公式有所不同。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    //第一个存储质因子的底数
    //第二个存储质因子的指数
    unordered_map<int, int> primes;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        {
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }
        }

        if (x > 1)
        {
            primes[x] ++ ;
        }
    }

    LL res = 1;
    for (auto p : primes)
    {
        LL a = p.first, b = p.second;
        LL t = 1;
        while (b -- )
        {
            t = (t * a + 1) % mod;
        }
        res = res * t % mod;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

五、最大公约数（欧几里得算法、辗转相除法）

题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。
接下来 $n$ 行，每行包含一个整数对 $a_i,b_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i,b_i\le 2\times 10^9$

输入样例

2
3 6
4 6

输出样例

3
2

具体实现

1. 实现思路

• 最大公约数（Greatest Common Divisor）指两个或多个整数共有约数中最大的一个。也称最大公因数、最大公因子，a， b 的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c 的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。
• 如果 d 可以整除 a，同时，d 也可以整除 b，那么，d 就可以整除 ax+by。
• 便可以得到如下公式：（a，b）=（b，a mod b）。
• 代码模板如下所示：

int gcd(int a, int b)
{
    //返回a和b的最大公约数
    return b ? gcd(b, a % b) : a; 
}

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    //返回a和b的最大公约数
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << gcd(a, b) << endl;
    }

    return 0;
}